Question

從邊長為2a的正方形鐵皮的四個角各截去一個邊長為x的小正方形，再將四邊向上折起，做成一個無蓋的長方體鐵盒，且要求長方體的高度x與底面正方形的邊長的比不超過常數t．問：
（1）求長方體的容積V關于x的函數表達式；
（2）x取何值時，長方體的容積V有最大值？

Answer 1

分析：（1）先求出長方體的底面正方形的邊長和高，便可求出長方體的容積V解析式．
（2）把容積V變形后使用基本不等式求出最大值，注意分析等號成立條件能否滿足，
當等號成立條件不能滿足時，利用導數值的符號確定函數的單調性，由單調性確定函數的最大值．

解答：解：（1）長方體的底面正方形的邊長為2a-2x，高為x，所以，容積V=4（x-a）²x，
由

x

2a-2x

≤t，得 0＜x≤

2ta

1+2t

，
（2）由均值不等式知V=2（a-x）（a-x）（2x）≤2(

a-x+a-x+2x

3

)3=

16a3

27

，
當a-x=2x，即x=

a

3

時等號成立．
①當

a

3

≤

2ta

1+2t

，即t≥

1

4

，Vmax=

16a3

27

；
②當

a

3

＞

2ta

1+2t

，即0＜t＜

1

4

時，V′(x)=12(x-

2a

3

)2-

4a2

3

，
則V′（x）在(0，

a

3

)上單調遞減，
∴V′(x)≥V′(

2ta

1+2t

)＞V′(

a

3

)=0，
∴V（x）在(0，

2ta

1+2t

]單調遞增，
∴V(x)max=V(

2ta

1+2t

)=

8ta3

(1+2t)3

總之，若0＜t＜

1

4

，則當x=

2ta

1+2t

時，Vmax=

8ta3

(1+2t)3

；
若t≥

1

4

，則當x=

a

3

時，Vmax=

16a3

27

．

點評：本題考查基本不等式在函數最值中的應用，利用導數來研究函數的單調性，由函數的單調性確定函數的最大值．