Question

已知甲、乙兩個工廠在今年的1月份的利潤都是6萬元，且甲廠在2月份的利潤是14萬元，乙廠在2月份的利潤是8萬元．若甲、乙兩個工廠的利潤（萬元）與月份x之間的函數關系式分別符合下列函數模型：f（x）=a₁x²+b₁x+6，g（x）=a₂•3^x+b₂，（a₁，a₂，b₁，b₂∈R）．
（1）求甲、乙兩個工廠今年5月份的利潤；
（2）在同一直角坐標系下畫出函數f（x）與g（x）的草圖，并根據草圖比較今年甲、乙兩個工廠的利潤的大小情況．

Answer 1

分析：（1）先根據條件結合函數模型，求得函數，進而再求相應的函數值．
（2）一個二次函數型，一個是指數函數型，可按照提供的幾個已知點，結合模型特點作出圖象，根據圖象找出相等點來，圖象在上方的為利潤大，在下方的為利潤小．

解答：解：（1）依題意：由

f(1)=6 f(2)=14

，有

a1+b1=0 4a1+2b1=8

，解得：a₁=4，b₁=-4
∴f（x）=4x²-4x+6；（2分）
由

g(1)=6 g(2)=8

，有

3a2+b2=6 9a2+b2=8

，
解得：a2=

1

3

，b2=5
∴g(x)=

1

3

•3x+5=3x-1+5．（4分）
所以甲在今年5月份的利潤為f（5）=86萬元，
乙在今年5月份的利潤為g（5）=86萬元，
故有f（5）=g（5），即甲、乙兩個工廠今年5月份的利潤相等．（6分）
（2）作函數圖象如圖所示：
從圖中，可以看出今年甲、乙兩個工廠的利潤：
當x=1或x=5時，有f（x）=g（x）；
當1＜x＜5時，有f（x）＞g（x）；
當5＜x≤12時，有f（x）＜g（x）；（12分）

點評：本題是一道應用題，是一道很常規的題，考查了解應用題的基本思路：先根據相關條件建立模型，再應用模型，特別在第二問，又將圖象引入，兩個模型的優劣一看就知．