Question

（2013•自貢一模）已知函數F(x)=

1

3

ax3-bx2+cx+d(a≠0)的圖象過原點，f（x）=F′（x），g（x）=f′（x），f（1）=0，函數y=f（x）與y=g（x）的圖象交于不同的兩點A、B．
（Ⅰ）若y=F（x）在x=-1處取得極大值2，求函數y=F（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若使g（x）=0的x值滿足x∈[-

1

2

，

1

2

]，求線段AB在x軸上的射影長的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求F（x）的解析式，只需得到含兩個a，b的等式，根據函數F（x）在x=-1處有極大值，可知，函數在x=-1處導數等于0，根據極大值為2，可知，x=-1時，函數值等于7，這樣，就可求出a，b．對函數求導，再令導數大于0，解出x的范圍，為函數的增區(qū)間，令導數小于0，解出x的范圍，為函數的減區(qū)間．
（Ⅱ）由題意，f（x）=ax²-2bx+c=ax²-（a+c）x+c，，g（x）=2ax-2b=2ax-（a+c），聯立可得ax²-（3a+c）x+a+2c=0，利用韋達定理，可求線段AB在x軸上的射影長m=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( c a -1)2+4

．從而可求線段AB在x軸上的射影長的取值范圍．

解答：解：∵F（x）的圖象過原點，∴d=0．
又f（x）=F'（x）=ax²-2bx+c，f（1）=0，，∴a+c=2b．…①…（2分）
（Ⅰ）由y=F（x）在x=-1處取得極大值2知：f（-1）=a+2b+c=0，…②
F(-1)=-

1

3

a-b-c=2，…③…（4分）
由①②③得解：a=3，b=0，c=-3，
∴F（x）=x³-3x．…（5分）
由f（x）=3x²-3≥0，得x≥1或x≤-1；由f（x）=3x²-3≤0，得-1≤x≤1．
∴F（x）的單調遞減區(qū)間為[-1，1]，單調遞增區(qū)間為（-∞，-1]和[1，+∞）．…（7分）
（Ⅱ）f（x）=ax²-2bx+c=ax²-（a+c）x+c，，g（x）=2ax-2b=2ax-（a+c），
由

y=ax2-(a+c)x+c y=2ax-(a+c)

，得ax²-（3a+c）x+a+2c=0．…（8分）
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1+x2=

3a+c

a

=3+

c

a

，x1x2=

a+2c

a

=1+2•

c

a

，
∴線段AB在x軸上的射影長m=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

( c a -1)2+4

．…（9分）
由g(x)=0，得x=

1

2

(1+

c

a

)．由x∈[-

1

2

，

1

2

]得-2≤

c

a

≤0．…（（10分）
∴當

c

a

=-2時，m取最大值

13

；當

c

a

=0時，m取最小值

5

，
∴

5

≤m≤

13

．…（12分）

點評：本題以函數為載體，考查導數的運用，考查函數的極值，考查曲線相交，有一定的綜合性．