Question

已知以1為首項的數列{a_n}滿足：an+1=

an+1 (n為奇數) an 2 (n為偶數)

a₁=1，a₂=4，a_n+2+2a_n=3a_n+1（n∈N^*）．
（1）寫出a₂，a₃，a₄，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{a_n}的前n項和S_n，求數列{s_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）分別令n=1，n=2，n=3再利用遞推關系式an+1=

an+1 (n為奇數) an 2 (n為偶數)

即可求出a₂，a₃，a₄
（2）先結合數列{a_n}的通項公式an=

3+(-1)n

2

的特征采用分組求和的方法來求前n項和s_n，再根據s_n的特征再用分組求和和等比數列的求和公式可求出數列{s_n}的前n項和T_n

解答：解：（1）由題意可得：a₁=1，a₂=4，a_n+2+2a_n=3a_n+1
所以a₂=2，a₃=1，a₄=2，an=

3+(-1)n

2

，
（2）∵sn=[

3

2

+ 

(-1)

2

]+″″′+[

3

2

+

(-1)n

2

]
∴Sn=

3n

2

+

1

2

•

-1[1-(-1)n]

2

=

3n

2

-

1

4

+

1

4

(-1)n
∴T_n=s₁+s₂+''''+s_n=

3

2

(1+ 2+″″+n)-

n

4

+

1

4

[(-1)+‘’‘+(-1)n]
∴Tn=

3

2

•

n(n+1)

2

-

1

4

n+

1

4

•

-[1-(-1)n]

1+1

=

3

4

n2+

1

2

n+

1

8

•(-1)n-

1

8

點評：此題第一問主要考查了利用數列的遞推關系式求數列值和通項公式，常用代入法求數列值但本題要注意n的奇偶性第二問采用分組求和和常見數列的求和公式來求較復雜數列的和，因此常見數列的求和公式要記牢！