Question

在一條直線型的工藝流水線上有3個工作臺，將工藝流水線用如圖2-19所示的數軸表示，各工作臺的坐標分別為x₁，x₂，x₃，每個工作臺上有若干名工人．現要在x₁與x₃之間修建一個零件供應站，使得各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和最短．
（1）若每個工作臺上只有一名工人，試確定供應站的位置；
（2）設從左到右工作臺上的工人人數依次為2，1，3，試確定供應站的位置，并求所有工人到供應站的距離之和的最小值．

Answer 1

解：設供應站坐標為x，各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和為d（x）．
（1）d（x）=|x-x₁|+|x-x₂|+|x-x₃|．
當x＜x₁時，d（x）=x₁+x₂+x₃-3x在區間（-∞，x₁）上是減函數；
當x＞x₃時，d（x）=3x-（x₁+x₂+x₃）在區間（x₃，+∞）上是增函數；
所以，x必須位于區間[x₁，x₃]內，此時d（x）=x₃-x₁+|x-x₂|（*），
當且僅當x=x₂時，（*）式取最小值，且d（x₂）=x₃-x₁，即供應站的位置為x=x₂；
（2）由題設知，各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和為d（x）=2|x-x₁|+|x-x₂|+3|x-x₃|
當x＜x₁時，d（x）=2x₁+x₂+3x₃-6x在區間（-∞，x₁）上是減函數；

當x₁＜x＜x₂時，d（x）=-2x₁+x₂+3x₃-2x在區間（x₁，x₂）上是減函數；

當x₂＜x＜x₃時，d（x）=-2x₁-x₂+3x₃在區間（x₂，x₃）上是常數函數
當x＞x₃時，d（x）=6x-（2x₁+x₂+3x₃）在區間（x₃，+∞）上是增函數；
所以，x必須位于區間[x₂，x₃]內，此時d（x）取最小值．
分析：（1）設供應站坐標為x，各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和為d（x），由題意有d（x）=|x-x₁|+|x-x₂|+|x-x₃|，然后對x的范圍進行討論分析，知當x=x₂時，所有工人到供應站的距離之和最短．
（2）由題設知，各工作臺上的所有工人到供應站的距離之和為d（x）=2|x-x₁|+|x-x₂|+3|x-x₃|，類似（1）的討論，即可得到結論．
點評：本題主要考查將實際問題轉化為數學問題的能力，以及綜合運用函數知識解決問題的能力，解題的關鍵是分類去絕對值號．