Question

已知函數．
（1）若是函數的極值點，求曲線在點處的切線方程；
（2）若函數在上為單調增函數，求的取值范圍；
（3）設為正實數，且，求證：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見解析.

試題分析：（1）根據題意，可得，又由為極值點，故，代
入并檢驗即可得到，從而切線斜率，切點為，因此切線方程為；
由（1），故在上為單調增函數等價于
在上恒成立，將不等式變形為，從而問題等價于求使在上恒成立的的取值范圍，而，當且僅當時，“”成立，即，因此只
需，∴，即的取值范圍是；
（3）要證，只需證，
即證只需證，由（2）中所得，令，則，
由（2）知在上是單調增函數，又，因此，即成立，即有.
試題解析：（1）∵，∴
又∵是函數的極值點，∴，代入得，經檢驗符合題意，
從而切線斜率，切點為，∴切線方程為；
（2）由（1），
∵上為單調增函數，∴上恒成立，
即在上恒成立，將不等式變形為，即需使在
上恒成立，而，當且僅當時，“”成立，因此只需，∴，
∴的取值范圍是；
由（2），令，則，由（2）知在上是單調增函數，又∵，∴，∴，
即.