Question

如圖三棱錐P-ABC，已知PC⊥平面ABC，CD⊥面PAB，BA=BC，PC=AC=2．
（Ⅰ）求異面直線AP與BC所成的角的大小；
（Ⅱ）求二面角C-PA-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根據PC⊥平面ABC，CD⊥面PAB，BA=BC，PC=AC=2求出BC，再建立空間直角坐標系求出個對應點的坐標；進而求出，的坐標，最后直接代入兩向量夾角的計算公式即可；（Ⅱ）先根據條件求出平面PAB的法向量以及平面PAC的法向量的坐標，最后計算出其數量積進而求出二面角C-PA-B的余弦值
解答：解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABC，∴PC⊥AB．
又∵CD⊥面PAB，
∴CD⊥AB．PC∩PD=P，
∴AB⊥面PCB．∴AB⊥BC．…（2分）
∵PC=AC=2，∴．
以B為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，．．．
設AP與BC所成的角為θ，
∴異面直線AP與BC所成的角為．…（6分）
（Ⅱ）設平面PAB的法向量為．
∴
令z=-1，∴．…（8分）
設平面PAC的法向量為．
∴
令a=1，∴n=（1，1，0）．…（10分）
∴…（11分）
∴二面角C-PA-B大小的余弦值為．…（12分）
點評：本題主要考察用空間向量求平面間的夾角以及異面直線及其所成的角．解決這類題目的關鍵在于建立適當的坐標系，進而求出對應向量的坐標．