Question

設函數f（x）=（a∈N^*），又存在非零自然數m，使得f（m）=m，f（-m）＜-成立．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）設{a_n}是各項非零的數列，若對任意n∈N^*成立，求數列{a_n}的一個通項公式；
（3）在（2）的條件下，數列{a_n}是否惟一確定？請給出判斷，并予以證明．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=（a∈N^*），
∴f（m）==m，且m≠0，
∴（a-1）m=2，顯然a≠1，所以m=①；
又f（-m）=＜-，即＞1，
由（a，m∈N^*）得：m³＞am+2②，
把①代入②，得＞+2；
整理，得--4＞0，
根據a≠1，a∈N^*，取a=2，滿足上式，當a≥3時，--4＜0，
故a=2，此時m=2；
所以，函數f（x）=．
（2）令s_n=a₁+a₂+…+a_n，根據（1）知f（x）=，則=，
代入，
得2a_n-2a_n²=4（a₁+a₂+…+a_n）=4s_n，即a_n-a_n²=2s_n，
∴a_n-1-a_n-1²=2s_n-1（n≥2），
∴（a_n-a_n²）-（a_n-1-a_n-1²）=2a_n，
∴a_n+a_n-1=0，或a_n-a_n-1=-1（n≥2），
又當n=1時，a₁-a₁²=2a₁，
∴a₁=0（舍去），或a₁=-1；
由a_n-a_n-1=-1，得{a_n}是等差數列，通項a_n=-n．
（3）由（2）的條件知，數列{a_n}的通項公式不止一個，
例如由a_n+a_n-1=0，且a₁=-1，可得a_n=（-1）ⁿ（n為奇數時）；
所以，數列{a_n}不是惟一確定的．
分析：（1）利用f（m）=m，f（-m）＜-關系及（a∈N^*）構造一個不等式，求出a的值，即求出函數f（x）的表達式．
（2）令s_n=a₁+a₂+…+a_n，根據（1）求得f（x）的表達式，代入求出遞推式s_n與a_n的關系，
再利用求出數列{a_n}的一個通項公式；
（3）根據（2）的條件數列{a_n}的通項公式不止一個，給出實例即證．
點評：本題考查了函數與數列的綜合應用，也考查了函數與不等式的應用，數列遞推公式的應用；解題時要細心分析，并適當的猜想，仔細解答．