Question

已知函數．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期和單調遞減區間；
（Ⅱ）求函數f（x）在上的最大值和最小值并指出此時相應的x的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把f（x）中的一三項結合利用二倍角的余弦函數公式化簡，第二項利用誘導公式把余弦化為正弦后利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡合并后，把f（x）化為一個角的正弦函數，利用周期公式T=求出函數的周期和利用正弦函數的單調減區間求出滿足條件的x的范圍即可；
（Ⅱ）根據x的范圍求出（Ⅰ）中化簡的關系式的角2x-的范圍，利用正弦函數的圖象求出函數的最大值和最小值及此時相應的x的范圍即可．
解答：解：（Ⅰ）
===
所以．
由得
所以函數f（x）的最小正周期為π，單調遞減區間為（k∈Z）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）有．
因為，
所以．
因為，
所以當時，函數f（x）取得最小值；
當時，函數f（x）取得最大值2．
點評：此題考查學生靈活運用二倍角的正弦、余弦函數公式、兩角和與差的正弦函數公式化簡求值，掌握正弦函數的周期公式及單調區間，是一道中檔題．