Question

已知F（-2，0），以F為圓心的圓，半徑為r，點A（2，0）是一個定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l和直線FP相交于點Q．在下列條件下，求點Q的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．
（1）r=1時，點P在圓上運動；
（2）r=9時，點P在圓上運動．

Answer 1

解：（1）當r=1時，
∵A為⊙F外一定點，P為⊙F上一動點
線段AP的垂直平分線交直線FP于點Q，
則QA=QP，則|QA-QF|=|QP-QF|=FP=r=1，
即動點Q到兩定點F、A的距離差的絕對值為定值，
根據雙曲線的定義，可得點Q的軌跡是：以F，A為焦點，FA為焦距長的雙曲線，
故2a=1，2c=4，?a=，c=2，b=．
故方程為：，是雙曲線；
（2）當r=9時，
由題意：QA=QP，FP=FQ+QP=r=9，
所以FQ+QA=9．
故曲線是以A、F為焦點，長軸長為9的橢圓，
其2a=9，2c=4，?a=，c=2，b=，
方程為：，是橢圓．
分析：（1）由題意得QA=QP，則|QA-QF|=|QP-QF|=FP=r=1，即動點Q到兩定點F、A的距離差的絕對值為定值，根據雙曲線的定義，可得點Q的軌跡是：以F，A為焦點，FA為焦距長的雙曲線．
（2）由題意QA=QP，FP=FQ+QP=r=9，所以FQ+QA=9．故曲線是以A、F為焦點，長軸長為9的橢圓，由此能求出曲線的方程．
點評：本小題主要考查橢圓的定義、雙曲線的定義、軌跡方程等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．熟練掌握雙曲線、橢圓的定義及圓與直線的性質是解決問題的關鍵．屬于中檔題．