Question

已知函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)h（x）=x+

1

x

+2的圖象關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對稱．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）•x+ax，且g（x）在區(qū)間[0，2]上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)關(guān)于點(diǎn)A（0，1）對稱，求出函數(shù)的解析式．
（2）利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到對稱軸與區(qū)間的關(guān)系．

解答：解：（1）設(shè)f（x）上的任意一點(diǎn)為（x，y），則點(diǎn)（x，y）關(guān)于A（0，1）對稱點(diǎn)為（-x，2-y），
代入h（x）=x+

1

x

+2，得2-y=-x-

1

x

+2，即y=x+

1

x

．所以f（x）=x+

1

x

．
（2）g（x）=f（x）•x+ax=（x+

1

x

）x+ax=x²+ax+1，對稱軸為x=-

a

2

，
要使函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，2]上為減函數(shù)，則-

a

2

≥2，即a≤-4．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍a≤-4．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的圖象和解析式的求法，以及一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，比較綜合．