Question

圖中是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米．
（1）求該拱橋所在拋物線的標準方程；
（2）若在水面上有一寬為2米，高為1.6米的船只能否安全通過拱橋？

Answer 1

分析：（1）根據拋物線開口向下，建立直角坐標系如圖所示．設拋物線標準方程為x²=-2py（p＞0），結合題意將點（2，-2）坐標代入解出p=1，從而得到該拱橋所在拋物線的標準方程；
（2）由題意問題轉化為當拋物線上點的橫坐標為1時，是否滿足縱坐標y≤-1.6，由此進行計算即可得到該船只不能安全經過拋物線形拱橋．

解答：解：（1）以拋物線的軸為y軸，拋物線的頂點為原點，建立如圖所求直角坐標系
設拋物線的標準方程為x²=-2py（p＞0）
∵拋物線經過點（2，-2）
∴2²=-2p•2，得p=1，
即所求拋物線的標準方程為x²=-2y；
（2）寬為2米，高為1.6米的船只能否安全通過拱橋，
即當拋物線上點的橫坐標x=1時，是否滿足縱坐標y≤-1.6
∵當x=1時，由1²=-2y得y=-

1

2

＞1.6
∴該船只不能安全經過拋物線形拱橋．

點評：本題以拋物線形拱橋為例，求曲線的方程并研究船只能否過橋問題，著重考查了拋物線的定義、標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．