Question

設a≥0，函數f（x）=[x²+（a-3）x-2a+3]e^x，g（x）=2-a-x-。
（I）當a≥1時，求f（x）的最小值；
（II）假設存在x₁，x₂∈（0，+∞），使得|f（x₁）-g（x₂）|<1成立，求a的取值范圍。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，
∵，
∴時，f（x）遞增，
時，f（x）遞減，
時，f（x）遞增，
所以f（1）的極大值點為x₁=-a，極小值點為x₂=1，
而，
由于，對二次函數，對稱軸為，，
∴當時，，
∴，
當x>-a時，f（x）的最小值為，
所以，f（x）的最小值是；
（II）由（Ⅰ）知f（x）在的值域是：
當a≥1時，為，當時，為；
而在的值域是為，
所以，當時，令，并解得，
當時，令，無解，
因此，a的取值范圍是。