Question

17、已知a、b、c、d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd＞1．
求證：a、b、c、d中至少有一個是負數．

Answer 1

分析：利用反證法進行證明，假設a、b、c、d都是非負數，找出矛盾即可．

解答：證明：假設a、b、c、d都是非負數，
∵a+b=c+d=1，
∴（a+b）（c+d）=1．
∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd．
這與ac+bd＞1矛盾．
所以假設不成立，即a、b、c、d中至少有一個負數．

點評：此題考查反證法的定義：從否定命題的結論入手，并把對命題結論的否定作為推理的已知條件，進行正確的邏輯推理，使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經證明為正確的命題等相矛，矛盾的原因是假設不成立，所以肯定了命題的結論，從而使命題獲得了證明．