Question

將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，給出下列四個結論：①AC⊥BD；②AB與CD所成角為60°；③△ACD為正三角形；④AB與平面BCD所成角為60°．其中正確的結論是

 

（填寫結論的序號）．

Answer 1

分析：根據已知中正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，我們以O點為坐標原點建立空間坐標系，求出ABCD各點坐標后，進而可以求出相關直線的方向向量及平面的法向量，然后代入線線夾角，線面夾角公式，及模長公式，分別計算即可得到答案．

解答：解：連接AC與BD交于O點，對折后如圖所示，令OC=1
則O（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），D（0，-1，0）
則

AC

=（-1，0，1），

BD

=（0，-2，0），∵

AC

•

BD

=0，故①AC⊥BD正確；

AB

=（-1，1，0），

CD

=（0，-1，-1），則|cos＜

AB

，

CD

＞|=|

AB • CD

| AB |•| CD |

|=

1

2

，故②AB與CD所成角為60°正確；
∵|

AC

|=|

AD

|=|

CD

|=

2

，∴③△ACD為正三角形正確；
∵

OA

為平面BCD的一個法向量，根據正方形的性質，易得AB與平面BCD所成角為45°，故④錯誤；
故答案為：①②③

點評：本題考查的知識點是空間中直線與平面之間的位置關系，其中根據已知條件構造空間坐標系，將空間線線夾角，線面夾角轉化為向量的夾角問題是解答本題的關鍵．