Question

已知不等式

3x2+kx+2k

x2+x+2

＞2對一切實數x都成立，則k的取值范圍是

2＜k＜10

．

Answer 1

分析：不等式

3x2+kx+2k

x2+x+2

＞2對一切實數x都成立，可轉化為x²+（k-2）x+（k-2）＞0對一切實數x都成立，由此可得，此不等式相應方程的判別式小于0恒成立，由此等到關于k的不等式，解上不等式即可得出k的取值范圍

解答：解：由題意不等式

3x2+kx+2k

x2+x+2

＞2對一切實數x都成立等價于3x²+kx+2k＞2（x²+x+2）
即x²+（k-2）x+2（k-2）＞0對一切實數x都成立，
∴（k-2）²x-8（k-2）＜0
解得2＜k＜10
故答案為2＜k＜10

點評：本題考點是函數恒成立的問題，考察了二次函數的性質，轉化的思想，解題的關鍵是理解題意，將恒成立的分式不等式轉化為一元二次不等式，這是本題的重點，本題考察了轉化的思想及推理判斷的能力．