Question

已知函數f(x)=loga(2x+3-x2)，且f（1）=1；
（1）求a的值；
（2）求f（x）的定義域；
（3）求f（x）的單調區間并指出其單調性；
（4）求f（x）的最大值，并求取得最大值時的x的值．

Answer 1

分析：（1）由2x+3-x²＞0，求得x的范圍，可得函數f（x）的定義域．
（2）設u=2x+3-x²，則u＞0，f（u）=log₄u，根據f（u）=log₄u是增函數，函數u的單調性，即為函數f（x）的單調性；利用二次函數的性質可得u的單調性
（3）里哦也難怪二次函數的性質求得u=2x+3-x²的最大值，可得函數f（x）的最大值．

解答：解：（1）∵2x+3-x²＞0，…（2分）∴-1＜x＜3，…（3分）
∴函數f（x）的定義域為（-1，3）．…（4分）
（2）設u=2x+3-x²，則f（u）=log₄u．…（5分）
∵f（u）=log₄u是增函數，…（6分）
∴當x∈（-1，1）時，函數u=2x+3-x²是單調增函數；此時原函數為增函數．…（8分）
當x∈（1，3）時，函數u=2x+3-x²是單調減函數，此時，原函數為減函數．
故原函數的單調增區間為（-1，1），單調減區間為（1，3）．…（10分）
（3）∵當x=1時，u=2x+3-x²有最大值是4，…（12分）
∴當x=1時，函數f（x）有最大值是1．…（14分）

點評：本題主要考查二次函數的性質，復合函數的單調性，求函數的最值，屬于中檔題．