Question

已知拋物線E：y²=4x，點F（a，0），直線l：x=-a（a＞0）．
（Ⅰ）P為直線l上的點，R是線段PF與y軸的交點，且點Q滿足RQ⊥FP，PQ⊥l．當a=1時，試問點Q是否在拋物線E上，并說明理由；
（Ⅱ）過點F的直線交拋物線E于A，B兩點，直線OA，OB分別與直線l交于M，N兩點（O為坐標原點），求證：以MN為直徑的圓恒過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：數形結合,方程思想,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）根據題意，結合圖形，利用拋物線的定義，得出Q點在拋物線E；
（Ⅱ）由圖形的對稱性得出定點在x軸上，設出定點的坐標，討論①直線AB的斜率不存在時與②直線AB的斜率存在時，求出以MN為直徑的圓恒過定點是什么．

解答： 解：（Ⅰ）由已知a=1，得F（1，0）為焦點，直線l：x=-1為準線；
∵O點為FC的中點，且OR∥PC，∴點R是線段PF的中點，
又∵RQ⊥PF，∴QR是PF的垂直平分線，∴PQ=QF；
根據拋物線的定義知，Q點在拋物線E：y²=4x上；
（Ⅱ）由圖形的對稱性知，定點在x軸上，設定點坐標為K（m，0），
①當直線AB的斜率不存在時，設直線AB方程為x=a，
求得A（a，2

a

），B（a，-2

a

），M（-a，2

a

），N（-a，-2

a

）；
顯然，以MN為直徑的圓恒過定點（2

a

-a，0），（-2

a

-a，0）；
②當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=k（x-a），代入y²=4x得k²x²-（2ak²+4）x+a²k²=0；
設A（x₁，2

x1

），B（x₂，-2

x2

），
由根與系數的關系得，x₁+x₂=

2ak2+4

k2

，x₁x₂=a²；
又k_OA=

2

x1

k_OB=-

2

x2

∴直線OA的方程為y=

2

x1

x，
直線OB的方程為y=-

2

x2

x；
∴M（-a，-

2a

x2

），N（-a，

2a

x1

）；
由于圓恒過點Km0），根據圓的性質得∠MKN=90°，
即

KM

•

KN

=0，
∴

KM

=（-a-m，-

2a

x2

），

KN

=（-a-m，

2a

x1

），
代入上式向量的數量積，得；（a+m）²-

4a2

x1x2

=0，
∴（a+m）²-4a=0，解得m=±2

a

-a；
∴以MN為直徑的圓恒過定點（2

a

-a，0），（-2

a

-a，0）．

點評：本題考查了拋物線的定義域幾何性質的應用問題，也考查了直線方程、圓的方程的應用問題，考查了用代數的方法研究圓錐曲線的性質的問題，考查了數形結合的思想與方程的思想，是綜合性題目．