Question

設函數f（x）=alnx-bx²（x＞0），若函數f（x）在x=1處與直線y=-

1

2

相切．
（1）求實數a，b的值；
（2）求函數f（x）在[

1

e

，e]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）對f（x）進行求導，f′（x）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=1處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．列出關于a，b的方程求得a，b的值．
（2）研究閉區間上的最值問題，先求出函數的極值，比較極值和端點處的函數值的大小，最后確定出最大值．

解答：解：（1）∵函數f（x）=alnx-bx²（x＞0），∴f′（x）=

a

x

-2bx，
∵函數f（x）在x=1處與直線y=-

1

2

相切，
∴

f′(1)=a-2b=0 f(1)=-b=- 1 2

，解得

a=1 b= 1 2

；
（2）f（x）=lnx-

1

2

x²，f′（x）=

1-x2

x

，
當

1

e

≤x≤e時，令f'（x）＞0得

1

e

≤x＜1，
令f'（x）＜0，得1＜x≤e，
∴f（x）在[

1

e

，1]，上單調遞增，
在[1，e]上單調遞減，
∴f（x）max=f（1）=-

1

2

；

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、導數在最大值、最小值問題中的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．