Question

已知函數f（x）=a•b^x的圖象過點A（4、

1

4

）和B（5，1）．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）記a_n=log₂f（n）、n是正整數，S_n是數列{a_n}的前n項和，解關于n的不等式a_nS_n≤0；
（3）對于（2）中的a_n與S_n，整數10⁴是否為數列{a_nS_n}中的項？若是，則求出相應的項數；若不是，則說明理由．

Answer 1

分析：（1）由點A（4、

1

4

）和B（5，1）在圖象上，則有

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4

=a•b4，1=a•b⁵，從而求得a，b．得到函數解析式．
（2）由題意an=log2(

1

1024

•4n)=2n-10．再由前n項和公式求得Sn=

n

2

(a1+an)=n(n-9)，從而由a_nS_n≤0，建立關于n的不等式（n-5）（n-9）≤0可得結果．
（3）結合（2）來論證10⁴最近的項，能不能找到相應的n和它對它即可．

解答：解：（1）由

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4

=a•b4，1=a•b⁵，得b=4，a=

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．
故f(x)=

1

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4xx．
（2）由題意an=log2(

1

1024

•4n)=2n-10．
Sn=

n

2

(a1+an)=n(n-9)，
a_nS_n=2n（n-5）（n-9）．
由a_nS_n≤0，得（n-5）（n-9）≤0，即　5≤n≤9．
故　n=5，6，7，8，9．
（3）a₁S₁=64，a₂S₂=84，a₃S₃=72，a₄S₄=40．
當5≤n≤9時，a_nS_n≤0．
當10≤n≤22時，a_nS_n≤a₂₂S₂₂=9724＜10⁴．
當n≥23時，a_nS_n≥a₂₃S₂₃=11592＞10⁴．
因此，10⁴不是數列{a_nS_n}中的項．

點評：本題主要考查函數與數列的綜合運用，主要涉及了數列的通項和前n項和公式，及構造數列研究數列的規律等問題，屬于難題．