Question

已知函數f(x)=kx3-3x2+1

&(k≥0，k∈R)

（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若集合{x|f（x）=0，x∈R}有且只有一個元素．求正數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于最高次項系數是參數k，故對參數k的取值范圍進行討論，在每一類中求函數的導函數，解不等式求函數的單調區間；
（Ⅱ）集合{x|f（x）=0，x∈R}有且只有一個元素．當k=0時顯然不可以，當k＞0時，只需函數的極小值為正即可，有此關系建立參數k的不等式，解之即可．

解答：解：（I）①當k=0時，f（x）=-3x²+1∴f（x）的單調增區間為（-∞，0]，
單調減區間[0，+∞）．
②當k＞0時，f′（x）=3kx²-6x=3kx（x-

2

k

），
于是f′(x)＜0?0＜x＜

2

k

；f′(x)＞0?x＜0或x＞

2

k

∴當k＞0時，f（x）的單調增區間為（-∞，0]，[

2

k

，+∞），
單調減區間為[0，

2

k

]．
（Ⅱ）有題知k＞0，且題設等價于函數f（x）的極小值為正，
即f（

2

k

）=

8

k2

-

12

k2

+1＞0，即k²＞4，
結合k＞0，知k的取值范圍為（2，+∞）．所以，實數k的取值范圍為（2，+∞）．

點評：本題考查函數單調區間的求法及分類討論的思想，解答本題要注意正確轉化題設中的條件，如在（II）中集合只有一個元素的轉化，正確轉化是正確解答的關鍵．