Question

已知函數(shù)f(x)=cosx，x∈(

π

2

，3π)，若方程f(x)=a有三個(gè)不同的根，且三個(gè)根從小到大依次成等比數(shù)列，則a的值可能是（　　）

• A．-

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．-

  3

  2

• D．-

  2

  2

Answer 1

分析：作出函數(shù)y=cosx的圖象和直線y=a，得兩個(gè)圖象在(

π

2

，3π)上有三個(gè)交點(diǎn)A、B、C，滿足A、B關(guān)于x=π對(duì)稱且B、C關(guān)于x=2π對(duì)稱，結(jié)合三個(gè)根從小到大依次成等比數(shù)列列出橫坐標(biāo)x₁、x₂、x₃的方程組，解之可得x₂的值，從而得出實(shí)數(shù)a的值．

解答：解：同一坐標(biāo)系中作出y=cosx和y=a的圖象，
設(shè)兩個(gè)圖象在(

π

2

，3π)上有三個(gè)交點(diǎn)A、B、C，則A、B、C的
橫坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)方程f（x）=a的三個(gè)根，
得A（x₁，a），B（x₂，a），A（x₃，a），
根據(jù)余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性，得

x 1+x2

2

=π，得x₁+x₂=2π
且

x 2+x3

2

=2π，x₂+x₃=4π
∵三個(gè)根從小到大依次成等比數(shù)列，即x₂²=x₁x₃，
∴x₂²=（2π-x₂）（4π-x₂），解之得x₂=

4π

3

因此，x₁=

2π

3

，x₂=

4π

3

，x₃=

8π

3

，得a=cos

2π

3

=-

1

2

故選A

點(diǎn)評(píng)：本題給出余弦曲線上三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成兩組對(duì)稱的點(diǎn)，求該點(diǎn)的縱坐標(biāo)值，著重考查了等比數(shù)列的性質(zhì)和余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．