Question

已知函數f（x）=x²+ax+b的值域為[4，+∞），若關于x的不等式f（x）＜c的解集為（m，m+6），則實數c的值為

13

．

Answer 1

分析：由于函數f（x）=x²+ax+b的值域為[4，+∞），所以f（x）-4≥0，得到△=0；再由f（x）＜c的解集為（m，m+6），得f（x）-c=0的根為m，m+6，由兩根差的絕對值可得一等式，從而聯立方程組解得c值．

解答：解：因為函數f（x）=x²+ax+b的值域為[4，+∞），所以x²+ax+b-4≥0，
所以△=a²-4（b-4）=0，即a²-4b+16=0①
又f（x）＜c的解集為（m，m+6），所以f（x）-c=x²+ax+b-c=0的根為m，m+6．
令x₁=m，x₂=m+6，則|x₁-x₂|=6，故(x1+x2)2-4x₁x₂=36．
即a²-4（b-c）=36．②
聯立①②解得c=13．
故答案為：13．

點評：本題主要考查了二次函數的性質，分析問題及解決問題的能力．