Question

如圖,等邊三角形OAB的邊長為8,且其三個頂點均在拋物線E:x2=2py(p>0)上.

(1)求拋物線E的方程;

(2)設動直線l與拋物線E相切于點P,與直線y=-1相交于點Q,證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點.

 

Answer 1

【答案】

(1) x2=4y (2)見解析

【解析】

(1)解:依題意,|OB|=8,∠BOy=30°.

設B(x,y),則x=|OB|sin 30°=4,

y=|OB|cos 30°=12.

因為點B(4,12)在x2=2py上,

所以(4)2=2p×12,解得p=2.

故拋物線E的方程為x2=4y.

(2)證明:由(1)知y=x2,y′=x.

設P(x0,y0),則x0≠0,y0=,且l的方程為

y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.

由得

所以Q為.

設M(0,y1),令·=0對滿足y0=(x0≠0)的x0,y0恒成立.

由于=(x0,y0-y1), =,

由·=0,

得-y0-y0y1+y1+=0,

即(+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)

由于(*)式對滿足y0=(x0≠0)的y0恒成立,

所以

解得y1=1.

故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M(0,1).