Question

已知函數f(x)=

2x2+bx+c

x2+1

，(b＜0)的值域是[1，3]．
（1）求b，c；
（2）判斷函數F（x）=lgf（x）在[-1，1]上的單調性，并予以證明．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數的值域是[1，3]，利用判別式法，我們可以構造出一個關于b，c的方程組，解方程組即可得到b，c的值；
（2）由（1）的結論我們易給出函數F（x）=lgf（x）的解析式，利用作差法，我們可以判斷出F（x₁）與F（x₂）的大小，結合函數單調性的定義，我們易判斷出函數F（x）=lgf（x）在[-1，1]上的單調性．

解答：解：（1）∵函數f(x)=

2x2+bx+c

x2+1

，(b＜0)的定義域為R
令y=

2x2+bx+c

x2+1

，則y∈[1，3]
則（2-y）x²+bx+（c-y）=0一定有實根
即b²-4（c-y）（2-y）≥0
即4y²-（8+4c）y+8c-b²≤0
又∵[1，3]
∴1+3=

8+4c

4

，1×3=

8c-b2

4

解得b=-2，c=2
（2）由（1）得f(x)=

2x2-2x+2

x2+1

∴F（x）=lgf（x）=lg

2x2-2x+2

x2+1

任取區間[-1，1]上兩個數x₁，x₂且x₁＜x₂
則F（x₁）-F（x₂）=lg

2x12-2x1+2

x12+1

-lg

2x22-2x2+2

x22+1

∵

2x1 2-2x1+2

x1 2+1

=2+

-2x1

x1 2+1

，

2x2 2-2x2+2

x2 2+1

=2+

-2x2

x2 2+1

，
又外層函數是增函數，故比較

-2x2

x2 2+1

與

-2x1

x1 2+1

的大小即可
因為lg

-2x1

x12+1

-lg

-2x2

x22+1

=lg

x1(x22+1)

(x12+1)x2

＞0
即F（x₁）＞F（x₂）
故函數F（x）=lgf（x）在[-1，1]上單調遞減

點評：本題考查的知識點是函數的單調性的判斷與證明及函數值域的求法，其中利用判別式法構造出一個關于b，c的方程組，求出b，c的值是解答本題的關鍵．