精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

已知兩曲線f（x）=cosx，g（x）=sin2x，x $數(shù)學(xué)公式$ ．
（1）求兩曲線的交點坐標(biāo)；
（2）設(shè)兩曲線在交點處的切線分別與x軸交于A，B兩點，求AB的長．

解：（1）由cosx=sin2x，得cosx=2sinxcosx，
∵x $\text{[math]}$ ．
∴cosx≠0，∴sinx= $\text{[math]}$
∴x= $\text{[math]}$ ，f（x）=cos $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴兩曲線的交點坐標(biāo)為（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
（2）∵f′（x）=-sinx
∴f′（ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$
∴曲線f（x）在交點處的切線方程為y- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）
∴A（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，0）
∵g′（x）=2cos2x
∴g′（ $\text{[math]}$ ）=1
∴曲線f（x）在交點處的切線方程為y- $\text{[math]}$ =x- $\text{[math]}$
∴B（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，0）
∴AB= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）令f（x）=g（x），利用二倍角公式解三角方程即可得交點橫坐標(biāo)，再代入函數(shù)解析式計算縱坐標(biāo)即可
（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先分別計算兩條曲線的在交點處的切線方程，從而得其與x軸交點A，B的坐標(biāo)，最后計算兩點距離即可
點評：本題考察了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求曲線切線方程的方法，能解簡單的三角方程，會利用二倍角公式化簡三角式

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（I）當(dāng)b=0時，證明：曲線y=f（x）與其在點（0，f（0））處的切線只有一個公共點；
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)．
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