Question

圓的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切點為P（如圖），雙曲線過點P且離心率為.
（1）求的方程；
（2）橢圓過點P且與有相同的焦點，直線過的右焦點且與交于A，B兩點，若以線段AB為直徑的圓心過點P，求的方程.

Answer 1

（1）；（2） ，或..

試題分析：（1）設切點坐標為，則切線斜率為，切線方程為，即，此時，兩個坐標軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為.由知當且僅當時有最大值，即S有最小值，因此點P得坐標為 ，由題意知解得，即可求出的方程；（2） 由（1）知的焦點坐標為，由此的方程為，其中.
由在上，得，顯然，l不是直線y=0.設l的方程為x=my+，點由 得，因由題意知，所以 ，將韋達定理得到的結果代入式整理得，解得或，即可求出直線l的方程.
（1）設切點坐標為，則切線斜率為，切線方程為，即，此時，兩個坐標軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為.由知當且僅當時有最大值，即S有最小值，因此點P得坐標為 ，
由題意知
解得，故方程為.
（2）由（1）知的焦點坐標為，由此的方程為，其中.
由在上，得，
顯然，l不是直線y=0.設l的方程為x=my+，點
由 得，又是方程的根，因此 ，由得
因由題意知，所以 ，將①，②，③，④代入⑤式整理得，解得或，因此直線l的方程為，或.