Question

已知二次函數f(x)=ax²+bx(a、b是常數，且a≠0)滿足條件：f(2)=0，且方程f(x)=x有兩個相等實根．
(1)求f(x)的解析式；
(2)是否存在實數m、n(m＜n)，使f(x)的定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]？如存在，求出m、n的值；如不存在，說明理由．

Answer 1

解：(1)方程f(x)=x，即ax²+bx=x，亦即ax²+(b-1)x=0，
由方程有兩個相等實根，得Δ=(b-1)²-4a×0=0，
∴b=1，①
由f(2)=0，得4a+2b=0，②
由①、②得，a=-，b=1，
故f(x)=-x²+x。
(2)假設存在實數m、n滿足條件，由(1)知，
f(x)=-x²+x=-(x-1)²+≤，則2n≤，即n≤，
∵f(x)=-(x-1)²+的對稱軸為x=1，
∴當n≤時，f(x)在[m，n]上為增函數，
于是有，即，
∴，
又m＜n≤，
∴，
故存在實數m=-2，n=0，使f(x)的定義域為[m，n]，值域為[2m，2n]．