Question

已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)(

2

，

3

)的雙曲線(xiàn)C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為2．
（Ⅰ）求雙曲線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）是否存在經(jīng)過(guò)（0，-1）的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，且線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)分別交x軸，y軸與點(diǎn)P、Q，使得四邊形APBQ為菱形？若存在，求出直線(xiàn)l的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意有：

c

a

=2，

2

a2

-

3

b2

=1，且c²=a²+b²，由此能求出雙曲線(xiàn)C的方程．
（Ⅱ）①若直線(xiàn)l的斜率不存在，則直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C沒(méi)有交點(diǎn)，故滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l不存在．②若直線(xiàn)l的斜率為0，則線(xiàn)段AB為y軸平行；不滿(mǎn)足條件，直線(xiàn)l不存在．③若直線(xiàn)l的斜率為±

3

，則直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)平行，故滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l不存在．④若直線(xiàn)l的斜率存在，且不為0不為±

3

時(shí)設(shè)為k，則直線(xiàn)l的方程為y=kx-1．設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

y=kx-1 x2- y2 3 =1

，得（3-k²）x+2kx-4=0，由△=4k²+16（3-k²）＞0，得-2＜k＜2．由此能導(dǎo)出不存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)．

解答：解：（Ⅰ）依題意有：

c

a

=2，

2

a2

-

3

b2

=1，
且c²=a²+b²，所以a²=1，b²=3，
雙曲線(xiàn)C的方程為x2-

y2

3

=1…（4分）
（Ⅱ）①若直線(xiàn)l的斜率不存在，則直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C沒(méi)有交點(diǎn)，故滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l不存在．
②若直線(xiàn)l的斜率為0，則線(xiàn)段AB為y軸平行；不滿(mǎn)足條件，直線(xiàn)l不存在．
③若直線(xiàn)l的斜率為±

3

，則直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)平行，故滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)l不存在．
④若直線(xiàn)l的斜率存在，且不為0不為±

3

時(shí)設(shè)為k，
則直線(xiàn)l的方程為y=kx-1…（6分）
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

y=kx-1 x2- y2 3 =1

，
得（3-k²）x+2kx-4=0，
△=4k²+16（3-k²）＞0，
∴-2＜k＜2…（7分）
∴x1+x2=

2k

k2-3

y1+y2=

6

k2-3

∴線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為(

k

k2-3

，

3

k2-3

)
∴線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)y-

3

k2-3

=-

1

k

(x-

k

k2-3

)
∴P(

4k

k2-3

，0)Q(0，

4

k2-3

)
∴線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)為(

2k

k2-3

，

2

k2-3

)
若四邊形APBQ為菱形，則線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)在直線(xiàn)l上，
所以

2

k2-3

=k•

2k

k2-3

-1，
解得k²=-1，這矛盾．…（11分）
綜上，不存在滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)方程的求法，考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與整合的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)．