Question

（2010•河西區二模）已知向量

m

=（2sin

x

2

，1），

n

=（cos

x

2

，1），設函數f（x）=

m

•

n

-1．
（1）求函數y=f（x）的值域；
（2）已知△ABC為銳角三角形，A為△ABC的內角，若f（A）=

3

5

，求f（2A-

π

3

）的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的數量積運算可化簡f（x），由f（x）的表達式特征可得函數值域；
（2）由平方關系可求得cosA，利用倍角公式可得sin2A，cos2A，然后利用差角公式可得f（2A-

π

3

）的值．

解答：解：（1）由f（x）=

m

•

n

-1，得f（x）=2sin

x

2

cos

x

2

+1-1=sinx，
所以y=f（x）的值域為[-1，1]；
（2）由已知得A為銳角，f（A）=sinA=

3

5

，
則cosA=

1-( 3 5 )2

=

4

5

，得sin2A=2sinAcosA=2×

3

5

×

4

5

=

24

25

，
cos2A=1-2sin²A=1-2×(

3

5

)2=

7

25

，
所以f（2A-

π

3

）=sin（2A-

π

3

）=sin2Acos

π

3

-cos2Asin

π

3

=

24

25

×

1

2

-

7

25

×

3

2

=

24-7 3

50

．

點評：本題考查三角函數的恒等變換、和差角公式、倍角公式等知識，考查向量的數量積運算，考查學生綜合運用所學知識解決問題的能力．