Question

已知曲線.
（1）求曲線在點（）處的切線方程；
（2）若存在使得，求的取值范圍.

Answer 1

（1）y=(a-1)x-1（2）(-∞,0)∪[e,+∞)

試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數求曲線的切線方程、利用導數求函數的單調性、利用導數求函數的最值等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力和計算能力.第一問，要求切線方程，需求出切點的縱坐標和切線的切率，將代入到中得到切點的縱坐標，將代入到中得到切線的斜率，最后利用點斜式寫出切線的方程；第二問，當時，利用單調遞增，單調遞減，求出函數的最小值，使之大于等于0，當時，通過對的判斷知函數在R上單調遞減，而，存在使得成立，綜合上述2種情況，得到結論.
試題解析：（1）因為，所以切點為（0，-1）.，，
所以曲線在點（）處的切線方程為：y=(a-1)x-1.         -4分
（2）（1）當a>0時，令，則.
因為在上為減函數，
所以在內，在內，
所以在內是增函數，在內是減函數，
所以的最大值為
因為存在使得，所以，所以.
（2）當時，<0恒成立，函數在R上單調遞減,
而，即存在使得，所以.
綜上所述，的取值范圍是(-∞,0)∪[e,+∞)                    13分