Question

已知橢圓的離心率為，且經過點． 過它的兩個焦點，分別作直線與，交橢圓于A、B兩點，交橢圓于C、D兩點，且．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）求四邊形的面積的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）由離心率為可知，所以，再將點P的坐標代入橢圓方程得，故所求橢圓方程為 ；

（2）與垂直，可分為兩種情況討論：一是當與中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0；二是若與的斜率都存在；

當與中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0，此時四邊形的面積為；

若與的斜率都存在，設的斜率為，則的斜率為．直線的方程為，

設，，聯立，消去整理得，

（1），，

，

（2），注意到方程（1）的結構特征，或圖形的對稱性，可以用代替（2）中的，

得 ，

，利用換元法，再利用對構函數可以求出最值，令，， ，綜上可知，四邊形面積的.

試題解析：（1）由，所以， 2分

將點P的坐標代入橢圓方程得， 4分

故所求橢圓方程為 5分

（2）當與中有一條直線的斜率不存在，則另一條直線的斜率為0，

此時四邊形的面積為， 7分

若與的斜率都存在，設的斜率為，則的斜率為．直線的方程為，

設，，聯立，

消去整理得， （1）

，， 8分

，（2） 9分

注意到方程（1）的結構特征，或圖形的對稱性，可以用代替（2）中的，

得 ， 10分

，令，

， ，綜上可知，四邊形面積的. 13分

考點：1.橢圓的標準方程；2.直線與橢圓的位置關系.