Question

 

如圖，在直三棱柱中，，。M、N分別是AC和BB₁的中點(diǎn)。

（1）求二面角的大小。

（2）證明：在AB上存在一個(gè)點(diǎn)Q，使得平面⊥平面，并求出的長(zhǎng)度。

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：方法一（向量法）

如圖建立空間直角坐標(biāo)系……………………1分

（1）

∴

   設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為

   則有…………3分

       …………5分

  設(shè)二面角為θ，則

 

  ∴二面角的大小為60°。…………7分

（2）設(shè)………………9分

    ∵

    ∴，設(shè)平面的法向量為

    則有：…………11分

   由（1）可知平面的法向量為

   ∵平面⊥平面

   ∴  即，

   此時(shí)�！�……………14分

方法二：（1）取中點(diǎn)，連接

∵  ∴

  又∵  ∴

  ∴  ∴

  過做于H，連接

  ∴  ∴

   ∴為二面角的平面角………………4分

   有： 

   ∵∽，，，

   ∴

   ∴

   ∴…………………………7分

（2）同方法一