Question

對于函數f（x）=ax³，（a≠0）有以下說法：
①x=0是f（x）的極值點．
②當a＜0時，f（x）在（-∞，+∞）上是減函數．
③f（x）的圖象與（1，f（1））處的切線必相交于另一點．
其中說法正確的序號是

②

．

Answer 1

分析：①利用函數的極值點處左右兩側導數值異號，即可判斷出x=0不是f（x）的極值點；
②由于a＜0時，f′（x）＜0在（-∞，+∞）上恒成立，故得f（x）在（-∞，+∞）上的單調性；
③f（x）在（1，f（1））處的切線：y-f（1）=f′（1）（x-1），聯立y=ax³，（a≠0）判斷解的個數，即可判斷③的正誤．

解答：解：由于函數f（x）=ax³，（a≠0），則f′（x）=3ax²
①由于f′（x）=3ax²恒為正或恒為負，故x=0不是f（x）的極值點，故①錯誤；
②由于a＜0時，f′（x）=3ax²＜0在（-∞，+∞）上恒成立，則f（x）在（-∞，+∞）上是減函數，故②正確；
③由于f′（x）=3ax²，則f′（1）=3a
故f（x）在（1，f（1））處的切線方程：y-a=3a（x-1），即：y=3ax-2a，
聯立y=ax³，（a≠0）得到ax³=3x+a-3，整理得（x-1）（ax²+ax+a-3）=0
若△=a²-4a（a-3）≥0，則y=3x+a-3與y=ax³（a≠0）必有兩個以上的交點；
若△=a²-4a（a-3）＜0，則y=3x+a-3與y=ax³（a≠0）只有一個交點（1，f（1））．
故③錯誤．
故答案為 ②．

點評：本題主要考查了函數的導數在研究函數性質上的應用，屬于基礎題．