Question

已知函數f（x）=lnx，，設F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）當a=1時，求函數F（x）的單調區間；
（Ⅱ）若以函數y=F（x）（0＜x≤3）圖象上任意一點P（x，y）為切點的切線斜率恒成立，求實數a的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a=1代入求出函數F（x）的解析式后求導數，根據導函數大于0時原函數單調遞增，導函數小于0時原函數單調遞減可求單調區間．
（2）先求函數F（x）的導數，然后令導函數小于等于在（0，3]恒成立可求a的范圍進而求a的最小值．
解答：解：（Ⅰ）由已知a=1，可得，函數的定義域為（0，+∞），
則
由可得F（x）在區間（1，+∞）上單調遞增，
得F（x）在（0，1）上單調遞減；
（Ⅱ）由題意可知對任意0＜x≤3恒成立，
即有對任意0＜x≤3恒成立，即，
令，
則，即實數a的最小值為．
點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數正負之間的關系，進當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減．