Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=（m+1）x²-x（m≠-1）．
（1）求f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若函數y=f（x）與y=g（x）的圖象有公共點，且在公共點P處有相同的切線，求實數m的值和P的坐標．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=lnx，知f′(x)=

1

x

，由此能求出f（x）在x=1處的切線方程．
（2）設函數y=f（x）與y=g（x）圖象的公共點為P（x₀，y₀），由此能求出實數m的值和P的坐標．

解答：解：（1）∵f（x）=lnx，
∴f（1）=0，
f′(x)=

1

x

，
∴k=f′（1）=1，
∴f（x）在x=1處的切線方程為y=x-1．
（2）設函數y=f（x）與y=g（x）圖象的公共點為P（x₀，y₀），則有

lnx0=(m+1) x 2 0 -x0， 又在點P處有共同的切線，

①
∴f′(x0)=g′(x0)⇒

1

x0

=2(m+1)x0-1⇒m=

1+x0

2 x 2 0

-1，②
②代入①，得lnx0=

1

2

-

1

2

x0．
設h(x)=lnx-

1

2

+

1

2

x⇒h′(x)=

1

x

+

1

2

＞0(x＞0)．
所以，函數h（x）最多只有1個零點，
觀察得x₀=1是零點，故m=0．
此時，點P（1，0）．

點評：本題考查函數的切線方程的求法，考查實數的取值范圍的求法和點的坐標的求法．解題時要認真審題，仔細解答．