Question

設兩個方程x²-4x+lga=0，x²-4x+lgb=0（a≠b）的四個根組成一個公差為2的等差數列，則ab的值為________．

Answer 1

分析：設方程x²-4x+lga=0的根為x₁，x₂，則有 x₁•x₂=lga，設x²-4x+lgb=0（a≠b）的根為 x₃，x₄，則有x₃•x₄=lgb．由題意可得得 x₁，x₃，x₄，x₂ 成公差為2的等差數列，解得x₁=-1，x₃=1，x₄=3，x₂=5，由此求得 lga+lgb=lgab=x₁•x₂+x₃•x₄ 的值．
解答：解：設方程x²-4x+lga=0的根為x₁，x₂，則有 x₁+x₂=4，x₁•x₂=lga．
設x²-4x+lgb=0（a≠b）的根為 x₃，x₄，則有x₃+x₄=4，x₃•x₄=lgb．
再由題意可得 x₁，x₃，x₄，x₂ 成公差為2的等差數列，如圖所示：
故有x₁=-1，x₃=1，x₄=3，x₂=5．
∴lga+lgb=lgab=x₁•x₂+x₃•x₄=-5+3=-2=lg，故 ab=，
故答案為 ．
點評：本題主要考查一元二次方程的根與系數的關系，等差數列的定義和性質，體現了轉化、數形結合的數學思想，屬于中檔題