Question

已知直線l經過點P（1，1），傾斜角α=

π

6

，和圓x²+y²=4相交于A、B兩點．
（1）選擇恰當的參數，寫出直線l的參數方程，并求線段AB的長；
（2）求點P到A，B兩點的距離之積．

Answer 1

分析：（1）因為直線l經過P，所以根據P的坐標和已知的傾斜角寫出直線的參數方程，求線段AB的長可用兩種方法，方法一：利用垂徑定理及勾股定理，由圓的半徑r及圓心到直線的距離d，即可求出|AB|的長；方法二：把直線的參數方程代入圓的方程，化簡后得到一個關于t的一元二次方程，利用韋達定理即可求出|AB|的長；
（2）由（1）中的方法二中的關于t的一元二次方程得到兩個之積的值，求出絕對值即為點P到A、B兩點的距離之積．

解答：解：（1）直線的參數方程為

x=1+tcos π 6 y=1+tsin π 6

，即

x=1+ 3 2 t y=1+ 1 2 t

，
（法一）由圓的方程x²+y²=4得到圓心（0，0），半徑r=2，直線的普通方程為：x-

3

y+

3

-1=0
所以圓（0，0）到直線的距離d=

| 3 -1|

2

，所以|AB|=2

r2-d2

=2

22-( 3 -1 2 )2

=

12+2 3

；
（法二）把直線

x=1+ 3 2 t y=1+ 1 2 t

代入x²+y²=4，
得(1+

3

2

t)2+(1+

1

2

t)2=4，t2+(

3

+1)t-2=0，
∴

t1+t2=-( 3 +1) t1t2=-2

，∴|AB|=|t1-t2|=

(t1+t2)2-4t1t2

=

12+2 3

；
（2）t₁t₂=-2，則點P到A，B兩點的距離之積為|t₁t₂|=2．

點評：此題考查學生掌握并靈活運用直線與圓的參數方程，利用運用圓的垂徑定理、勾股定理及韋達定理化簡求值，是一道綜合題．