Question

已知數列{a_n}滿足a_n=2a_n-1+2ⁿ+2（n≥2），a₁=2．
①求a₂，a₃，a₄；
②是否存在一個實數λ，使得數列成等差數列，若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由；
③求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：①直接根據條件a_n=2a_n-1+2ⁿ+2（n≥2），a₁=2把n=2，3，4代入即可求解；
②先假設其存在，然后根據等差數列對應的相鄰兩項的差為常數即可求出λ的值；
③先根據②的結論求出數列{a_n}的通項公式，再借助于分組求和以及錯位相減求和即可求出結論．
解答：解：①a₂=2×2+2²+2=10；
a₃=2×10+2³+2=30；
a₄=2×30+2⁴+2=78．
②假設存在一個實數λ，使數列成等差數列，
則===恒為常數
∴2-λ=0即  λ=2
此時 ，
∴λ=2時，數列是首項為2，公差為1的等差數列．
③由②得
得a_n=（n+1）2ⁿ-2
所以：S_n=（2×2¹-2）+（3×2²-2）+（4×2³-2）+…+[（n+1）2ⁿ-2]
=[2×2¹+3×2²+4×2³+…+（n+1）2ⁿ]-2n
令 m=2×2¹+3×2²+4×2³+…+（n+1）2ⁿ…①
2m=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+（n+1）2ⁿ⁺¹…②
①--②得：-m=2×2¹+（2²+2³+…+2ⁿ）-（n+1）2ⁿ⁺¹=
得m=n×2ⁿ⁺¹
∴S_n=n×2ⁿ⁺¹-2n
點評：本題主要考察利用數列的遞推式求數列的特定項以及數列的求和問題．本題涉及到數列求和的分組法以及錯位相減法，錯位相減法適用于一等差數列與一等比數列相乘組成的新數列．