Question

如下圖,直線l₁和l₂相交于M,且l₁⊥l₂,點N∈l₁.已知以A、B為端點的曲線段C上任一點到l₂的距離與到N的距離相等.若△AMN為銳角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6,建立適當的坐標系,求曲線段C的方程.

Answer 1

思路分析:求軌跡方程旨在合理地建系、設點.根據題設或相關的定義找出問題的內在聯系,進而求得曲線方程.

解:根據拋物線的定義,可將l₁取為x軸、MN的中垂線為y軸建立直角坐標系.

這樣曲線段C的方程可設為y²=2px.

于是可設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),則M(-,0),N(,0),C:y²=2px(x₁≤x≤x₂,y＞0).

由條件得

即

解得

又由△AMN是銳角三角形,

∴＞x₁(結合圖形).

因此p=4,x₁=1,

∴C的方程為y²=8x.

而|BN|=6,

∴(x₂-)²+y₂²=36,

即(x₂-2)²+8x₂=36,解得x₂=4.

故所求的曲線段C的方程為y²=8x(1≤x≤4,y＞0).