Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CB=1，CA=，，AA₁=，M為側棱CC₁上一點，AM⊥BA₁。

（1）求證：AM⊥平面A₁BC；
（2）求二面角B-AM-C的大小；
（3）求點C到平面ABM的距離。

Answer 1

解：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，易知面ACC₁A₁⊥面ABC，
∵∠ACB = 90°，
∴BC⊥面ACC₁A₁， 
∵AM面ACC₁A₁
∴BC⊥AM
∵AM⊥BA₁，且BC∩BA₁=B
∴AM⊥平面A₁BC；
（2）以C為原點，CA，CB，CC₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則

設
∵
∴
即=0
故
所以
設向量為平面AMB的法向量，則
則即
令x=1的平面AMB的一個法向量為
顯然向量是平面AMC的一個法向量

易知，與所夾的角等于二面角B - AM - C的大小，
故所求二面角的大小為45°。
（3）向量在法向量上的投影的長即為所求距離
∴
∴點C到平面ABM的距離為。