Question

設函數(shù)f(x)=cosωx(

3

sinωx+cosωx)（其中0＜ω＜2），若函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸為x=

π

3

，那么ω=（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  1

  6

• C．

  1

  4

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：先根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式對函數(shù)進行化簡整理，再結合正弦函數(shù)的對稱性即可得到答案．

解答：解：∵f(x)=cosωx(

3

sinωx+cosωx)
=

3

sinωxcosωx+cos²ωx
=

3

2

sin2ωx+

1+cos2ωx

2

=

1

2

+

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx
=

1

2

+sin（2ωx+

π

6

）．
而y=sinx的對稱軸為y=kπ+

π

2

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的對稱軸滿足方程：2ωx+

π

6

=kπ+

π

2

∵函數(shù)f（x）圖象的一條對稱軸為x=

π

3

，
∴2ω×

π

3

+

π

6

=kπ+

π

2

⇒ω=

3k+1

2

．k∈Z
∵0＜ω＜2
∴ω=

1

2

．
故選：D．

點評：本題是基礎題，考查三角函數(shù)的對稱性，對稱軸方程的求法，考查計算能力，推理能力，是送分題．