Question

【題目】已知函數f（x）=|3x﹣1|﹣2|x|+2．
（1）解不等式：f（x）＜10；
（2）若對任意的實數x，f（x）﹣|x|≤a恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：x＜0時，不等式化為﹣3x+1+2x+2＜10，解得x＞﹣7，∴﹣7＜x＜0；

0 時，不等式化為﹣3x+1﹣2x+2＜10，解得x＞﹣ ，∴0 ；

x＞ 時，不等式化為3x﹣1﹣2x+2＜10，解得x＜9，∴ ；

綜上所述，不等式的解集為（﹣7，9）；

（2）解：對任意的實數x，f（x）﹣|x|≤a恒成立，即|3x﹣1|﹣|3x|≤a﹣2，

∵|3x﹣1|﹣|3x|≤|3x﹣1﹣3x|=1，

∴a﹣2≥1，∴a≥3．

【解析】（1）分類討論，解不等式：f（x）＜10；（2）對任意的實數x，f（x）﹣|x|≤a恒成立，即|3x﹣1|﹣|3x|≤a﹣2，利用|3x﹣1|﹣|3x|≤|3x﹣1﹣3x|=1，即可求實數a的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解絕對值不等式的解法的相關知識，掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．