Question

已知△ABC的周長為6，角A，B，C所對的邊a，b，c成等比數列．
（1）求角B及邊b的最大值．
（2）設△ABC的面積為s，求s+

1

BA • BC

的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出角B的余弦，利用基本不等式求出余弦的最小值，求出角B的最大值．
（2）利用三角形的面積公式表示出三角形的面積S，求出其最大值；利用向量的數量積公式求出向量的數量積，
再利用已知條件等量代換，通過求二次函數的最值求出最大值．

解答：解：（1）∵a+b+c=6，b²=ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，a=c時取等號，故B有最大值

π

3

．
又b=

ac

≤

a+c

2

=

6-b

2

，從而b有最大值2，a=c時取等號．

（2）∵S=

1

2

acsinB =

1

2

b2sinB，由（1）知B=

π

3

，b=2時它有最大值

3

．

BA

•

BC

=accosB=

a2+c2-b2

2

=

(6-b)2-3b2

2

=-（b+3）²+27，
∴

1

BA • BC

=

1

-(b+3)2+27

≤

1

2

，即當b=2時有最大值

1

2

∴S+

1

BA •  BC

的最大值為

1

2

+

3

．

點評：本題考查三角形的余弦定理；基本不等式求函數的最值；通過配方求二次函數的最值．