Question

已知函數f（x）=

x

1+x2

．
（1）判斷其奇偶性；
（2）指出該函數在區間（0，1）上的單調性并證明；
（3）利用（1）、（2）的結論，指出該函數在（-1，0）上的增減性．

Answer 1

分析：（1）由已知易判斷出函數的定義域為R，關于原點對稱，再判斷f（-x）與f（x）的關系，即可根據函數奇偶性的定義，進行判斷得到結論；
（2）任取x₁、x₂滿足0＜x₁＜x₂＜1，并做出f（x₁）-f（x₂）的差，利用實數的性質，判斷出f（x₁）與f（x₂）的大小，根據函數單調性的定義，即可得到答案；
（3）由（1）可得函數為奇函數，由（2）可得函數在（0，1）上為增函數，根據奇函數在對稱區間上單調性相同，即可得到答案．

解答：解：（1）函數的定義域為R
∵f(-x)=

-x

1+(-x)2

=-

x

1+x2

=-f(x)
∴f（x）是奇函數；
（2）函數f（x）在（0，1）上是增函數
證明：任取x₁、x₂滿足0＜x₁＜x₂＜1則
f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+ x 2 1

-

x2

1+ x 2 2

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，
∴f（x₁）＜f（x₂）
因此函數f（x）在（0，1）上是遞增函數；
（3）由于f（x）是R上的奇函數，在（0，1）上又是遞增函數，
因而該函數在（-1，0）上也是增函數．

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性的判斷，函數單調性的判斷與證明，其中掌握函數奇偶性與單調性的定義及判定方法是解答本題的關鍵．