Question

已知函數f（x）=x³-x²+ax+b
（I）當a=-1時，求函數f（x）的單調區間：
（Ⅱ）若函數f（x）的圖象過點（1，1）且極小值點在區間（1，2）內，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求單調區間，先求導，令導函數大于0和小于0即可；
（Ⅱ）由函數f（x）的圖象過點（1，1）可得出a，b的數量關系，函數f（x）極小值點在區間（1，2）內，說明f′（x）=0有一根在（1，2）內，又知f′（x）對稱軸為x=

1

3

＜1，圖象開口向上，可得f（1）f（2）＜0，求出a的范圍，就可得出 b的范圍．

解答：解：（I）當a=-1時，f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1）
令f'（x）＞0，
解得x＜-

1

3

或x＞1，
令f'（x）＜0，解得-

1

3

＜x＜1
∴f（x）的單調遞增區間為（-∞，-

1

3

），（1，+∞），f（x）的單調遞減區間為 （-

1

3

，1）
（Ⅱ）∵函數f（x）的圖象過點（1，1）
∴a+b=1即b=1-a
∴f（x）=x³-x²+ax+1-a則f′（x）=3x²-2x+a
由題意知3x²-2x+a=0有兩個不等實根且大根在區間（1，2）內
又∵f′（x）對稱軸為x=

1

3

＜1
∴f（1）f（2）＜0即（a+1）（a+8）＜0
∴-8＜a＜-1
∴b的范圍是（2，9）．

點評：本題考查函數單調性的判斷和已知函數極值點求參數的范圍，求參數范圍，注意用函數的思想，借助函數的圖象，易于理解，化難為易，此題綜合性較強．