Question

在直角坐標平面內，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ，直線l的參數方程是

x=-3+ 3 2 t y= 1 2 t

（t為參數）．
（1）求極點在直線l上的射影點P的極坐標；
（2）若M、N分別為曲線C、直線l上的動點，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析：（1）由直線的參數方程設設P(-3+

3

2

t，

1

2

t)，得向量

OP

的坐標，再利用它與l的一個方向向量垂直得到一個關于參數t的方程，解得t值，最后將P的坐標化成極坐標即可；
（2）欲求|MN|的最小值，即求出圓上一點何時到直線的距離最小，先轉化為圓心到直線的距離最小值求解，結合直角坐標系下的點到直線的距離公式求解即得．

解答：解：（1）由直線的參數方程消去參數t得l：x-

3

y+3=0，
則l的一個方向向量為

a

=(3，

3

)，
設P(-3+

3

2

t，

1

2

t)，
則

OP

=(-3+

3

2

t，

1

2

t)，
又

OP

⊥

a

，
則3(-3+

3

2

t)+

3

2

t=0，得：t=

3

2

3

，
將t=

3

2

3

代入直線l的參數方程得P(-

3

4

，

3

4

3

)，
化為極坐標為P(

3

2

，

2

3

π)．
（2）ρ=4cosθ?ρ²=4ρcosθ，
由ρ²=x²+y²及x=ρcosθ得（x-2）²+y²=4，
設E（2，0），則E到直線l的距離d=

5

2

，
則|MN|min=d-r=

1

2

．

點評：本題考查點的極坐標、直線的參數方程和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區別，能進行極坐標和直角坐標的互化．