Question

（22）已知某橢圓的焦點是F₁（－4，0）、F₂（4，0），過點F₂并垂直于x軸的直線與橢圓的一個交點為B，且|F₁B|＋|F₂B|＝10.橢圓上不同的兩點A（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）滿足條件：

|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數列.

（Ⅰ）求該橢圓的方程；

（Ⅱ）求弦AC中點的橫坐標；

（Ⅲ）設弦AC的垂直平分線的方程為y＝kx＋m，求m的取值范圍.

Answer 1

（22）本題主要考查直線與橢圓等基本知識，考查綜合運用數學知識和方法分析、解決問題的能力.

（Ⅰ）解：由橢圓定義及條件知

2a＝|F₁B|＋|F₂B|＝10，

得　a＝5.又c＝4，

所以　b＝＝3.

故橢圓方程為＋＝1.

 

 

 

 

 

（Ⅱ）由點B（4，y_B）在橢圓上，得|F₂B|＝|y_B|＝.

 

解法一：

因為橢圓右準線方程為x＝，離心率為.

 

根據橢圓定義，有|F₂A|＝（－x₁），|F₂C|＝（－x₂）.

 

由|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數列得，（－x₁）＋（－x₂）＝2×.

由此得出x₁＋x₂＝8.

 

設弦AC的中點為P（x₀，y₀），則　x₀＝＝＝4.

解法二：

由|F₂A|、|F₂B|、|F₂C|成等差數列，得

＝2×.   　　　　　　　①

 

由A（x₁，y₁）在橢圓＝1上，得y₁²＝（25－x₁²）.

 

所以＝

＝.                   ②

同理可得.     　　　　　　　③

將②、③代入①式，得.

所以x₁＋x₂＝8.

設弦AC的中點為P（x₀，y₀），則 x₀＝＝＝4.

（Ⅲ）解法一：

由A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）在橢圓上，得

    9x₁²＋25y₁²＝9×25，                            ④

  9x₂²＋25y₂²＝9×25.                               ⑤

由④－⑤得9（x₁²－x₂²）＋25（y₁²－y₂²）＝0，

 

即　9（）＋25（）（）＝0（x₁≠x₂）.

 

將＝x₀＝4，＝y₀，＝－（k≠0）代入上式，得

9×4＋25y₀（－）＝0（k≠0）.

由上式得　k＝y₀（當k=0時也成立）.

 

由點P（4，y₀）在弦AC的垂直平分線上，得y₀＝4k＋m，

 

所以　m＝y₀－4k＝y₀－y₀＝－y₀.

 

由P（4，y₀）在線段BB′（B′與B關于x軸對稱，如圖）的內部，得－＜y₀＜，

所以�。�＜m＜.

注：在推導過程中，未寫明“x₁≠x₂”“k≠0”“k=0時也成立”及把結論寫為“－≤m≤”的均不扣分.

 

解法二：

因為弦AC的中點為P（4，y₀），所以直線AC的方程為y－y₀＝－（x－4）（k≠0）   ⑥

將⑥代入橢圓方程＝1，得

（9k²＋25）x²－50（k y₀＋4）x＋25（k y₀＋4）²－25×9k²＝0，

 

所以x₁＋x₂＝.

解得k＝（當k=0時也成立）

以下步驟同解法一.