Question

定義：設分別為曲線和上的點，把兩點距離的最小值稱為曲線到的距離．
（1）求曲線到直線的距離；
（2）若曲線到直線的距離為，求實數的值；
（3）求圓到曲線的距離．

Answer 1

（1）
（2）
（3）

試題分析：解 （1）設曲線的點，則，所以曲線到直線的距離為．   5分
（2）由題意，得，．   10分
（3）因為，所以曲線是中心在的雙曲線的一支．   13分
如圖，由圖形的對稱性知，當、是直線和圓、雙曲線的交點時，有最小值．

此時，解方程組得，于是，所以圓到曲線的距離為．     16分
另解 令，
，當且僅當時等號成立．（相應給分）
點評：主要是考查了兩點之間的距離和點到直線的距離，屬于基礎題。