Question

（2012•閔行區三模）已知橢圓Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點依次為F₁，F₂，點M（0，2）是橢圓的一個頂點，

MF

1•

MF

2=0．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）在橢圓Γ上是否存在兩點P、Q，使

PQ

=

PF1

+

PO

（O為坐標原點）？若存在，求出這兩點，若不存在，請說明理由；
（3）斜率為

2

2

的直線經過點F₂，該直線交橢圓Γ于R、S兩點，試在y軸上找一點T，使|TR|=|TS|．

Answer 1

分析：（1）由題意可知b=2，由

MF

1•

MF

2=0可得a和b的關系，所以橢圓的標準方程可求；
（2）由橢圓方程求出橢圓左焦點的坐標，利用向量關系得到PQ所在直線方程，和橢圓方程聯立即可得到PQ點的坐標；
（3）寫出直線方程，和橢圓方程聯立后利用根與系數關系得到線段RS中點D的坐標，設出T點坐標，由RS和DT垂直可解得T點的坐標．

解答：解：（1）由已知可得 b=2，由

MF

1•

MF

2=0，得a=

2

b．
所以a²=2b²=8，所求橢圓方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）由橢圓方程可求得F₁的坐標為（-2，0），設在橢圓Γ上存在兩點P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），
使

PQ

=

PF1

+

PO

，
則四邊形PF₁QO是平行四邊形，且點P、Q關于OF₁的中點E（-1，0）對稱；
由橢圓的對稱性可知，PQ⊥Ox軸，且PQ過點E；
聯立

x2 8 + y2 4 =1 x=-1

，解得：

x=-1 y= 14 2

或

x=-1 y=- 14 2

，
所以在橢圓Γ上存在兩點P(-1，

14

2

)，Q(-1，-

14

2

)，
使

PQ

=

PF1

+

PG

．
（3）直線RS的方程為y=

2

2

(x-2)．
由 

y= 2 2 (x-2) x2+2y2=8

，消去y整理得 x²-2x-2=0．
設R（x₃，y₃），S（x₄，y₄），線段RS的中點為D（x_D，y_D），T的坐標為（0，y₀），則 x₃+x₄=2．
所以xD=

x3+x4

2

=1，yD=

2

2

(xD-2)=-

2

2

，
即D的坐標為(1，-

2

2

)
由條件知RS⊥TD，所以kRS•kTD=

2

2

•

y0+ 2 2

-1

=-1⇒y0=

2

2

所以T的坐標為(0， 

2

2

)．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，綜合考查了學生分析問題和解決問題的能力，特別是對于（2）的求解，能根據向量關系正確得到P、Q的位置關系是解答的關鍵，是中高檔題．